--- note_type: source state: seed created: 2026-10-08 aliases: - 沪教版教参必修第三册·第10章 tags: - 数学/教参 - 数学/沪教版 topics: - 上海高考数学 - 教参 source: 沪教版教参必修第三册.md（原文件第 224–1113 行） --- # 第 10 章空间直线与平面 > 拆分自 [[沪教版教参必修第三册]] · **第 10 章空间直线与平面**（原文件第 224–1113 行）。 > 正文、公式与图片引用逐字保留；标题按语义重算层级，OCR 噪声前缀（页码/页边框）已清理。 ## 一、本章概述 ### 总体要求国家课程标准指出:“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学. ”“立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系. ”作为几何学的基础内容,本章是学习立体几何的起始章, 主要学习空间直线与平面的位置关系. 通过本章的学习, 可以帮助学生获得处理三维空间问题的基础知识、基本技能、基本思想方法与基本活动经验, 进一步发展空间观念、提高空间想象能力, 培养学生从几何的角度观察我们生活的三维空间, 进一步提高学生的逻辑推理能力. 作为欧氏几何体系的基础内容之一, 通过立体几何的学习所获得的基础知识、基本技能、基本思想方法与基本活动经验, 不仅是以后学习微积分、拓扑学和其他高等几何的基础, 还可以为高等代数等抽象数学结构提供直观的模型. 同时, 立体几何知识在工程机械、建筑、物理、化学、美术等生产、生活实践中都有广泛的应用. 初中平面几何课程是高中立体几何学习的基础. 平面几何研究的是同一个平面上的图形的形状、大小与位置关系, 经历了几何对象的概括抽象和几何性质的操作确认、推理论证等过程, 体会了运用逻辑推理的方法得到平面图形性质的研究方法, 初步形成了直观想象与逻辑推理的数学素养. 在高中立体几何中, 处理问题的一个基本思路是把三维空间的问题转化为同一个平面中的问题, 从而用平面几何的知识与方法予以解决; 但由于用平面直观图来表示三维空间图形时不能“真实地”反映空间图形的结构与位置关系, 因此培养学生的空间观念与空间想象能力是学习立体几何的关键. 教学中, 应关注空间图形及其位置关系的多种表征方式, 如实物、模型、图形、符号及文字等,并通过不同表征方式的相互转化来帮助学生理解空间概念、图形和解决问题. 在本章的学习中, 长方体是一个直观的模型. 国家课程标准指出: “可以帮助学生以长方体为载体,认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定, 并对某些结论进行论证. ” “运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质, 建立空间观念. ” ### 课时安排建议本章的课时安排建议为 14+1+2, 共计 17 课时. 建议如下:

章节名	建议课时	具体课时分配建议
10.1 平面及其基本性质	4	空间的点、直线与平面 2 课时
		相交平面 1 课时
		空间图形的平面直观图的画法 1 课时
10.2 关系直线与直线的位置	3	空间的平行直线 1 课时
		异面直线 1 课时
		两条异面直线所成的角 1 课时
10.3 关系直线与平面的位置	5	直线与平面平行 2 课时
		直线与平面垂直 1 课时
		直线与平面所成的角 1 课时
		三垂线定理 1 课时
10.4 4 平面与平面的位置关系	2	平面与平面平行 1 课时
10.4 4 平面与平面的位置关系	2	二面角 1 课时
*10.5 异面直线间的距离	1
探究与实践	1
复习与小结	1

### 内容编排与特色立体几何部分采用先研究空间直线与平面位置关系, 后研究简单几何体的编排方式. 如此编排的原因: 一是空间直线与平面位置关系是研究几何体的基础, 符合逻辑顺序; 二是与“二期课改”教材的编排顺序保持一致, 可以参考原有的教学经验. 本章内容共分为五节, 分别是 10.1 平面及其基本性质, 10.2 直线与直线的位置关系, 10.3 直线与平面的位置关系, 10.4 平面与平面的位置关系, *10.5 异面直线间的距离. 教材内容编排的一个基本思路是从实际情境出发, 引出三维空间的基本图形与关系, 然后用数学化的文字语言与符号语言对空间图形及其关系进行自然的描述. 在教学时,教师还可以借助立体几何模型,使学生建立“实际情境一几何模型一空间图形一语言描述一符号表示”之间的相互联系. 教材在描述空间图形关系以及推理过程时, 采取通俗易懂的自然语言叙述, 同时也兼顾符号表达的简洁性. 本章用了较多的篇幅去阐明定理的证明过程, 力求对一些重要结论的形成给予充分地推导, 这对培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力至关重要, 是本教材的一大特色. “10.1 平面及其基本性质”主要包括平面及其基本性质和空间图形的平面直观图画法等内容, 是本章的基础. 在平面及其基本性质部分, 教材在对生活实景的观察、长方体模型直观认识的基础上, 通过抽象概括和类比想象形成平面的概念, 介绍平面的图形语言和符号语言表示. 对空间点与直线、点与平面间的位置关系进行逻辑分类, 并用集合符号语言表示. 平面的基本性质主要学习平面的三条公理, 教材介绍了三条公理的文字语言、图形语言和符号语言表示, 指出公理 1 是判定直线在平面上的依据, 公理 2 及其三个推论是确定平面的依据, 公理 3 是相交平面的特征. 同时还介绍空间直线与平面位置关系的逻辑分类和三种数学语言表示法. 与“二期课改”教材相比,公理 2 与公理 3 的编排顺序不同, 本教材是先确定平面, 再讨论平面与平面的位置关系. 与“二期课改”教材相比,本教材把空间图形的平面直观图的画法前置在这一节中. 这样做的目的是便于学生理解与习惯教材中的各种图形, 使学生有更多机会通过自己作图, 培养“空间感”. 教材通过两道例题的形式分别介绍了斜二测画法画水平放置正六边形的直观图和长方体的直观图, 旨在示范斜二测画法画直观图的作图方法和步骤, 其中画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置, 画空间图形直观图的关键是画出水平放置平面图形的直观图. “10.2 直线与直线的位置关系”主要包括空间的平行直线和异面直线等内容. 与相交直线一样, 两条直线的平行关系可以看作是同一个平面上的位置关系, 这意味着空间两条直线的平行问题可以在同一平面上处理. 但平面几何中的直线平行关系的传递性却不能直接推广到空间, 所以可以设置公理 4 来保证. 异面直线是本章的教学难点, 教材在对生活实景的观察、长方体模型直观认识的基础上, 形成异面直线的概念, 给出异面直线的定义, 介绍了异面直线的画法和异面直线判定定理. 证明两条直线异面的方法主要有两种: 一是反证法, 如教材中异面直线判定定理的证明; 二是利用异面直线判定定理, 如教材中的例 3 和例 4 , 当然例 4 也可以用反证法来证明. 对于异面直线所成的角, 教材通过实际情境来体会研究两条异面直线所成角的必要性, 较详细地展现了用平移的方法将两条异面直线转化为两条相交直线, 利用相交直线的夹角来刻画两条异面直线所成角的研究方法和思维过程. 在两条异面直线所成角的定义中, 还规定了两条异面直线所成角的范围, 并举例说明两条异面直线所成角的大小的求法. “10.3 直线与平面的位置关系”是立体几何的核心内容之一,系统地阐述了直线与平面的平行关系、直线与平面的垂直关系. 与“二期课改”教材相比,增加了部分定理及其证明, 通过直线与平面平行的判定定理和性质定理、直线与平面垂直的判定定理和性质定理、三垂线定理等问题的研究, 力求比较系统地帮助学生建立空间观念. 同时, 把直线与平面所成的角、直线与平面之间的距离等度量的计算主要留给选择性必修中的空间向量部分解决, 这里着重于“角”“距离”的概念的理解及其相对应的位置关系的认识, 其目的还是为了加强空间观念的建立与逻辑推理能力的发展. 本节中, 除了线面垂直的判定定理的证明没有给出 (留在选择性必修第 3 章空间向量及其应用一章中学习), 其余的定理都给出了证明过程. 这样处理的目的是希望学生通过学习立体几何定理的证明过程, 不仅加深对定理本身的理解和运用, 而且作为培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的有效载体. 特别是本节在学习直线与平面所成的角的有关内容之后,及时安排了三垂线定理的教学,把三垂线定理作为沟通平面与空间的一个桥梁. “10.4 平面与平面的位置关系”也是立体几何的核心内容之一,系统地阐述了平面与平面的平行关系、平面与平面的垂直关系. 与“二期课改”教材相比,增加了平面与平面平行的判定定理和性质定理、平面与平面垂直的判定定理和性质定理. 对于平面与平面所成的二面角, 也是着重于位置关系的认识, 而把如何计算两个平面之间的 “角”和“距离”的大小问题,放在选择性必修的空间向量及其应用时再具体处理. “10.5 异面直线间的距离”是标注星号的选学内容, 虽然有一定的难度, 但完善了学生对空间中两条直线的位置关系的认知结构. 仅仅考察两条异面直线所成的角, 并不能完全刻画出两条异面直线的相对位置,还要考察两条异面直线的距离问题. 这也是本教材的特色之一. 本章教材按照平面及其基本性质、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、异面直线间的距离顺序编排. 各小节之间纵向联系密切, 前面小节的概念、结论等是后面小节学习的基础和根据, 后面小节的学习又可加深和巩固前面学习的内容. 通过本章的学习, 可以帮助学生形成空间直线和平面位置关系相对完整的知识体系和逻辑体系. ### 教学提示国家课程标准指出:“立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念, 应遵循从具体到抽象的原则, 提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体, 帮助学生认识空间几何体的结构特征, 进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能. 通过对图形的观察和操作, 引导学生发现和提出描述基本图形平行、垂直关系的命题, 逐步学会用准确的数学语言表达这些命题, 直观解释命题的含义和表述证明的思路,并证明其中一些命题. ” 为了帮助学生更好地体会空间图形的抽象过程和研究方法, 教材注意从实际情境出发, 通过对实际情境的观察和分析, 提炼出立体模型, 抽象出典型的空间图形. 在对空间图形及其关系进行数学化的文字语言和符号语言描述的基础上, 进一步研究空间图形中各元素间的相互关系, 形成对空间图形系统研究的一般步骤和方法. 学生已有的平面几何知识可以为立体几何的学习打下基础, 但由于平面几何中涉及的所有基本图形都在同一个平面上, 因此其中的一些结论和思维方式会给立体几何的学习带来一定程度上的负迁移. 在教学过程中, 一方面要引导学生认识到几何图形在空间中与在平面上的区别, 逐步培养学生从三维空间研究几何图形的思维习惯; 同时也要帮助学生沟通立体几何与平面几何的内在联系, 逐步形成将空间问题转化为平面问题进行处理的思考方法. 立体几何中的几个公理主要是讨论基本图形的空间定位问题, 是将空间问题转化为平面问题进行处理的依据. 用适当的语言和符号来准确、简洁地表述研究对象, 是数学思维的一个基本特点. 借用集合符号语言表示空间中点、直线、平面间的关系是一种新的表达方式, 常常需要文字语言、符号语言、图形语言之间的相互转化,初学时会有一定的困难,需要通过一定数量的训练才能熟练掌握. 空间想象能力是学好立体几何的基础, 也是不少学生的薄弱之处. 现实生活中与立体几何学习相关的事物随处可见, 在教学中要充分利用教室内外的各种生活实景等,努力为学生提供丰富的感性认识素材,指导学生从空间点线面关系的视角观察生活中的几何对象、空间图形. 长方体等立体几何教具模型既具有良好的直观性, 又能很好地揭示空间线面关系, 在空间想象能力的培养中具有重要的教学作用. 教学中还应充分利用包括计算机软件在内的各种现代信息技术, 呈现和快速绘制出生动、形象的立体图形, 让学生在感性认识的基础上再进行理性的思考, 循序渐进地帮助学生形成空间观念, 提高空间想象能力. 对于推理论证的规则和技能, 学生在初中平面几何学习中已经熟悉, 要让学生清楚这些规则和技能在立体几何的证明中仍然适用. 教材从四条公理出发, 努力构建相对完整的立体几何逻辑体系, 教学中要注意渗透数学公理化的思想. 在推理论证方面, 以能够直接运用相关公理、定理进行简单的推理论证为宜, 不建议在推理论证方面对学生提过高的要求. 教材以“直线与直线”“直线与平面”“平面与平面”位置关系的逻辑主线编排,力求在逻辑结构保持清晰的前提下,努力体现由易到难、循序渐进的教学原则. 教学中还可以在适当的阶段引导学生以“平行”“垂直”“角”“距离”等主题进行梳理,形成个性化的知识和方法体系. ### 评价建议在基础知识和基本技能上, 能准确理解空间点、线、面的概念和相对位置关系, 理解空间角、距离的概念并能进行简单的计算, 理解四条公理的实质并能简单应用, 了解线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理, 三垂线定理的内容, 了解这些定理的论证方法并能简单应用. 在数学思想方法上, 形成长方体、空间四边形等基本的空间图形模型, 了解模型的结构特征, 利用模型思考和解决相关问题. 理解在平面内的平行和垂直、角和距离与空间中的平行和垂直、角和距离之间的内在联系, 理解将空间问题化归为平面问题的思维方法. 在数学表达上, 能用适当的方式表示空间几何元素和图形, 能在文字语言、符号语言和图形语言间进行相互转化, 能够用立体几何一般的概念解释具体现象, 能用数学符号语言有条理地表达推理论证和度量计算过程, 论述过程遵循逻辑推理的规则, 做到有理有据. 在数学核心素养方面,能够在熟悉的实际情境中抽象出空间图形,形成空间直线、平面、异面直线、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)、空间各种角和距离等概念, 具有一定的数学抽象核心素养; 能够掌握研究空间图形与图形之间关系的基本方法, 理解斜二测画法画空间图形直观的规则和方法, 具有初步的识图读图能力, 并能根据画图规则画出简单平面图形的直观图, 具有一定的直观想象核心素养; 能够理解立体几何中相关概念、命题、定理之间的逻辑关系, 初步建立网状的知识结构. 掌握教材中一些基本命题与定理的证明, 能从教材中的公理和定理出发, 利用推理规则 (包括反证法)对一些简单的立体几何命题进行证明, 并有条理地表述论证过程. 初步了解立体几何的公理化思想, 了解立体几何中的逻辑推理体系, 具有一定的逻辑推理核心素养. #### 二、教材分析与教学建议 ##### 10.1 平面及其基本性质 ### 教学重点通过公理给出空间基本元素点、线、面的确定方法及其位置关系. 会用文字语言、图形语言和符号语言表示平面,表示空间点、直线、平面间的关系. 通过观察、验证和类比等途径理解公理 1、公理 2 及其推论、公理 3 ,并会在简单的情形下应用它们作为推理的依据. 了解空间图形的平面直观图的画图规则和步骤, 能画出简单平面图形的直观图. 初步形成空间观念, 体验公理化思想. ### 内容分析本节是立体几何的起始章节,主要包括平面及其基本性质和空间图形的平面直观图的画法两部分内容. 由于空间的点、直线、平面是不加定义的概念, 因此要通过对生活实景抽象概括形成直观的概念, 并借助长方体等学生熟知的空间图形, 介绍空间点与直线、点与平面间的位置关系,以及图形语言和符号语言表示. 在平面的基本性质部分, 教材通过三个公理来确定空间中的点、直线、平面及其位置关系. 公理 1 是直线在一个平面上的判定依据, 也是判定一个点是否在一个平面上的基本方法; 在公理 1 的基础上, 教材介绍空间直线与平面的位置关系、图形语言和符号语言表示. 借助三脚架的平衡作用等生活经验, 类比两点确定一条直线, 教材通过公理 2 给出了确定一个平面的基本方法, 公理 2 的三个推论除了用于确定平面外, 也是空间问题转化为平面问题的基本途径. 教材对其中的推论 1 给予了证明 (推论 2 请学生证明, 推论 3 作为习题). 从观察生活实景中得到启发, 教材提出了公理 3,并介绍了空间平面与平面的位置关系、图形语言和符号语言表示. 教材为三条公理各配了一道例题, 以说明公理的应用. 空间图形的直观图在小学、初中阶段的教材中都曾出现过, 初中六年级还介绍过长方体的画法, 学生对此并不陌生. 教材仅仅以两道例题的形式, 简要介绍了斜二测画法. 例 1 给出了证明一个点在一个平面上的基本方法, 即找到这个点所在的某条直线, 在这条直线上找到两个在给定平面上的点, 这样就可以利用公理 1 得到证明. 此题是一个典型问题, 其他一些由三角形确定的特殊点都可以类似证明. 通过对这类问题的证明, 可以加深对公理 1 的理解和巩固, 以及对集合语言符号的运用, 体会立体几何中证明的方法和步骤. 三角形的重心在立体几何中经常遇到, 有必要对其进行回顾. 公理 2 的三个推论的证明是立体几何中典型的构造性证明, 即要证明几个点或几条直线共面, 一般先构造一个平面, 再证明这些点或直线在这个平面上. 这里要注意的是 “确定一个平面” 指的是 “存在唯一的平面”, 这类命题的证明一般需要从 “存在性” 与“唯一性”两个方面考虑,但由于这样做对学生的要求较高,因此可以适当简化书写方面的要求. 教材中给出了推论 1 的证明, 下面给出推论 2 的证明过程. 公理 2 的推论 2 的证明: 已知: $l\text{、}m$ 是两条直线,且 $l \cap m = A$ . 求证: $l\text{、}m$ 确定一个平面. 证明: 在 $l$ 上取异于 $A$ 的一点 $B$ ,在 $m$ 上取异于 $A$ 的一点 $C$ ,则 $A\text{、}B\text{、}C$ 不在同一直线上. 由公理 2,知 $A\text{、}B\text{、}C$ 三点可确定一个平面 $\alpha$ . 因为 $A \in \alpha , B \in \alpha$ ,由公理 1,知 ${AB} \subset \alpha$ ,即 $l \subset \alpha$ ,同理 $m \subset \alpha$ ,所以 $l\text{、}m$ 确定一个平面. 例 2 旨在加深对公理 2 及其推论的理解和巩固, 以及对集合语言符号的运用, 证明过程还涉及公理 1. 例 3 是在学生所熟悉的简单几何体 ——长方体中研究两平面交线问题,旨在加深对公理 3 的理解和巩固, 体会在立体几何中作出言必有据的判断. 长方体是学习立体几何的基本图形, 不仅可以帮助学生直观理解空间中几何元素的位置关系, 而且可以为空间直角坐标系提供直观模型. 教学时要利用长方体教具帮助学生建立模型与图形的联系. 例 4 以正六边形为例, 介绍水平放置平面多边形作法的规则与步骤. 例 5 介绍长方体的画法,与例 4 相比,增加了垂直方向 ( $z$ 轴) 的处理规则. 这两个例题的功能类似, 目的是增长学生的见识, 并动手绘制一些不同形状、不同位置的空间直观图. 教学时可以请学生上台绘制不同的图形, 如三棱柱、水平放置的梯形等. ### 注意事项平面的基本性质中的三个公理, 是研究空间图形的理论基础, 教学中应给予足够的重视. 事实上, 把空间图形中的问题转化为平面图形中的问题, 是解决空间图形问题的重要思想方法, 而能够进行这种转化的前提是空间图形中涉及的几何元素在同一平面上, 公理 1 和公理 2 及其三个推论是判断几何元素在同一平面上最基本的依据. 因此, 在公理 1 和公理 2 的教学中要让学生体会到证明点、线共面的思想方法. 公理 3 是判断两个不同平面上的点在同一直线上的依据, 平面的交线是沟通两个平面的桥梁. 在公理 3 的教学中, 要让学生体会到证明三点共线的思想方法. 在本节的教学中还应注意以下几点: (1)如无特别说明,本章所说的两个点、两条直线、两个平面等均指它们不相重合的情形. 从理论上讲, 重合应该看作平行的特殊情形, 这样处理一些问题会更方便. 但由于初中阶段学生已经习惯把平行与重合看作不同的位置关系, 因此本套教材还是尊重了初中教学的习惯. (2)与平面几何中点、直线的概念类似,平面概念也是不加定义的原始概念. 按照希尔伯特的观点, 这些概念本身不重要, 重要的是它们之间的关系. 因此, 本节的几个公理本质上是处理点与平面、直线与平面、平面与平面之间的关系. 对平面没有厚薄、没有边界等性质可以类比平面几何中的点与直线, 建立直觉的认识即可. (3)立体几何画图时,有一个约定“看得见,画实线；看不见,画虚线”,即被平面遮住的部分应画成虚线或者不画；空间图形中虚、实线的选择以是否被平面遮住为标准, 即便是后添的辅助线, 如不被平面遮住, 也应画成实线, 这与初中平面几何中的标准不同. (4)立体几何借用集合语言符号来描述点、直线、平面间的位置关系时,可以把直线和平面都看成由点组成的集合, 这样便于理解集合符号的选用问题. 使用时仍要遵循立体几何的习惯,如点 $A$ 在平面 $\alpha$ 上,记作 $A \in \alpha$ ,但仍应读成“点 $A$ 在平面 $\alpha$ 上”; 直线 $a$ 与 $b$ 相交于点 $A$ ,记作 $a \cap b = A$ ,而不记作 $a \cap b = \{ A\}$ . 由于直线与平面上的点都有无限多个, 因此处理立体几何的一条基本思路是 “化无限为有限”. 比如, 由公理 1 知, 一条直线上只要有两个点在一个平面上, 那么这条直线上所有的点都在这个平面上. (5)国家课程标准称“公理”为“基本事实”,教材中仍称之为“公理”,这之间没有本质的区别. 另外, 本教材的公理 2 “不在同一直线上的三点确定一个平面”, 在 “二期课改”教材中作为公理 3,在国家课程标准中作为“基本事实 I ”,其顺序都有所不同, 这并不矛盾. (6)与“二期课改”教材不同,本教材将空间图形的平面直观图的画法前移到本节,是希望借助直观图画法的学习,帮助学生解决识图、画图困难,尽快形成空间观念. ### 教学建议平面概念的教学, 可借助多媒体技术展示平静的水面、平整的墙面、太阳能反射板等大量现实生活中的情景, 帮助学生感知平面, 通过归纳、提炼、抽象形成平面的概念, 引入课题. 在平面的基本性质中, 公理 1 的教学可先提出问题: 直线在一个平面上的含义是什么？直线可由两个点确定, 当一条直线有两个点在平面上时, 是否就可以断定这条直线在平面上? 从而引出公理 1 . 公理 2 和公理 3 可以分别从生活经验和观察教室里相邻墙面来引入,也可以考虑从类比推理的角度提出猜想. 例如,公理 2 的引入:两个点可以确定一条直线,三个点是否就可以确定一个平面？通过验证发现, 这三个点还必须不能在同一条直线上. 公理 3 的引入可以是:从集合的角度考虑,两条相交直线的公共元素只有一个点,两个相交平面的公共元素是否只能是一条直线? 平面及其基本性质的教学中, 学生认同和接受平面的概念并不困难, 难点主要集中在以下三个方面: 一是用符号语言表示. 用集合语言符号表示几何元素间关系, 从本质上说是一种约定, 只要充分了解其规则, 再辅以一定数量的训练, 学生还是可以掌握的. 二是识图、画图与空间想象. 由于三维空间图形只能通过二维的平面直观图表示, 维度上的差异造成了视觉上的“失真”, 因此立体几何中的识图、画图是一种需要在充分了解规则的基础上, 通过训练才能掌握的基本技能. 除了教师规范的示范外, 可设计学生板演、错画的找错纠错等教学活动, 及时发现和纠正出现的问题. 识图和画图技能相辅相成, 是发展空间想象能力的重要途径. 不少学生的空间想象能力较为薄弱, 要遵循循序渐进的原则, 指导学生从空间点线面关系的视角观察生活中的几何对象、观察空间图形. 可通过组织学生对 “1 个平面、 2 个平面、 3 个平面分别可能将空间分成几部分” “2 个平面、3 个平面、4 个平面分别可能有几条交线” 等问题进行讨论、指导学生制作立体几何模型、借助计算机软件对正方体的截面进行探究 (本章最后部分的“探究与实践”)等活动进行培养. 三是推理论证. 学生通过初中平面几何学习, 对推理论证的规则和过程并不陌生, 要让学生明白平面几何的结论在空间的某个平面上也仍然成立. 学生对证明过程中常用的集合符号语言会感到陌生, 这需要一个熟悉的过程. 本节主要掌握利用公理 1 和公理 2 证明点、线共面的方法, 利用公理 3 证明三点共线的方法, 不建议在推理论证方面对学生提其他过高的要求. 教材空间图形的平面直观图的画法中的两道例题在教学中应该边讲边画, 完整板演. 可利用计算机软件展示包括旋转体在内的更多的空间图形直观图的绘制过程, 以拓宽学生的视野. #### 10.2 直线与直线的位置关系 ### 教学重点通过观察实景与长方体模型, 不难发现两条直线平行关系的传递性可以从平面推广到空间 (公理 4), 要求学生理解并会应用公理 4 证明空间直线的平行关系. 理解等角定理, 体会等角定理证明过程中的思想方法. 通过观察, 抽象形成异面直线的概念, 理解异面直线的定义, 理解空间直线与直线位置关系的分类. 会用异面直线判定定理与反证法判断和证明两条直线是异面直线. 类比平面上相交直线的夹角, 理解异面直线所成角的概念, 会在简单的情形中通过平移求两条异面直线所成的角的大小. 初步体会空间问题平面化的思想. 空间直线与直线位置关系的研究思路和方法, 对后续直线与平面、平面与平面位置关系的研究具有指导作用, 也是研究直线与平面、平面与平面位置关系的基础. ### 内容分析本节内容主要包括空间的平行直线和异面直线两部分. 在前一节学习了平面基本性质的基础上, 从本节开始, 空间线面关系的研究将沿着直线与直线、直线与平面、平面与平面的逻辑顺序展开. 对于空间直线的平行关系, 可类比平面上平行线的传递性, 发现空间的平行线传递性(公理 4),并通过例 1 说明其应用. 受长方体中的特殊情形启发,发现了等角定理, 并对等角定理进行了证明, 进而给出等角定理的两个推论, 为异面直线所成的角的研究作准备. 通过例 2 介绍空间四边形的概念, 进一步说明公理 4 的应用. 此外, 由于平面直观图的斜二测画法是一种平行投影的方法, 而平行关系具有平行投影的不变性, 因此任何位置的两条平行线都必须画成“平行”的样子. 在异面直线部分, 通过生活实景的观察, 发现空间的两直线存在既不相交也不平行的情况,进而将此定义为异面直线. 对空间两条直线的位置关系分别以“是否共面” 和“是否有公共点”两个维度进行分类,并介绍了异面直线的画法. 教材中给出了两条异面直线的三种典型的画法, 可以先让学生通过观察实际情境或模型直观理解其中的道理, 在学习了异面直线判定定理之后再给出进一步的解释. 在给出异面直线的定义后, 教材随即介绍了异面直线判定定理, 并用反证法加以证明, 通过两道例题说明异面直线的判断和证明方法. 由于异面直线定义中有 “不同在任何一个平面上”这样的说法,因此通常都需要用反证法来证明两条直线的异面关系. 要让学生尽快熟悉反证法的过程及其使用情形. 在异面直线概念的基础上, 进一步研究两条异面直线所成的角. 通过生活实景体会研究两条异面直线所成角的必要性, 并提出通过平移的方法将两条异面直线转化为相交直线, 用相交直线的夹角来刻画两条异面直线所成角的设想. 在用等角定理说明直线无论平移到空间的哪个位置, 这个角的大小均保持不变的基础上, 给出两条异面直线所成的角的定义. 定义规定了两条异面直线所成角的范围,并举例说明如何求两条异面直线所成的角的大小. 两条异面直线所成角的定义过程反映了立体几何的基本研究方法, 即将空间问题转化为平面上的问题. 例 1 旨在加深对公理 4 的理解和巩固, 构建平行四边形来证明两条直线平行, 是立体几何的常用方法. 本例第( 3 )小题的证明虽然用的是等腰直角三角形的性质,但也可以用三角形全等来证明. 可以告诉学生,因为三角形全等体现了刚体运动的不变性, 所以三角形全等的判定定理与性质定理在空间仍然成立. 本例同时也为等角定理的发现作铺垫. 例 2 旨在说明公理 4 的应用, 并介绍立体几何中的一个常见图形——空间四边形. 此问题的平面情形在初中阶段学生学习三角形中位线时一般都见识过, 可以让学生比较空间与平面的区别与联系. 另外, 关于空间四边形的问题一般都可以看作四面体的问题. 例 3 旨在说明异面直线判定定理的应用. 在长方体这样的简单多面体中, 要判断两条直线是否为异面直线, 一般都可以用异面直线判定定理来证明. 例 4 介绍了四面体的概念, 并用反证法证明两条直线异面, 当然此题也可以用异面直线的判定定理来证明. 结合边框让学生体会判定定理和反证法是证明两条直线异面的两种常用方法. 例 5 旨在帮助学生理解异面直线所成角的定义, 并以正方体为背景给出求两条异面直线所成角的方法, 即把两条异面直线平移至相交位置后, 利用已知条件, 或构造三角形来求出两条相交直线的夹角. ### 注意事项教材依据是否共面及是否有公共点的情况对空间两条直线的位置关系进行分类. 这样的分类看起来简单, 但实际操作时学生可能容易混淆. 例如, 当两条直线分别在两个不同平面上时, 它们仍然有可能相交或平行; “看上去相交”的两条直线有可能是异面直线; 正方体中的两条线段延长后也可能是相交的. “眼见不一定为实”,这是平面几何与立体几何的区别. 教学中要处理好空间直觉与逻辑推理之间的关系. 特别是开始的时候, 尽可能要求学生依据定义、公理和定理来解释对位置关系的判断. 例如, 如果空间的两条直线有交点, 根据公理 2 的推论 2 知, 它们一定在某个平面上, 从而转化为平面上的两条直线; 如果空间的两条直线没有交点, 但它们都平行于第三条直线时, 可以利用公理 4 判断出它们是平行的, 根据公理 2 的推论 3 知, 它们也一定在某个平面上, 从而转化为平面上的两条直线. 等角定理是研究异面直线所成角的前提. 考虑到直接提出等角定理会略显唐突, 教材安排了例 1 作为过渡. 等角定理的两个推论的目的是加深对等角定理的理解, 方便学生解题时应用, 在教学中不必过多展开. 异面是空间两条直线所特有的情况, 在平面几何中没有此类情形. 异面直线的判定和证明, 可依据异面直线判定定理或反证法. 异面直线所成角大小的度量, 要有依据地通过平移找到与其相等的角, 再根据相关条件计算得到. 要确定两条异面直线的位置, 除了度量它们的所成角外, 还需要度量它们之间的距离. 但异面直线间距离的度量难度较大, 教材以选学内容的形式安排在本章最后部分. 在本节的教学中还应注意以下几点: (1)等角定理中的“方向相同”,是指角的两边所对应的两条“射线”的方向相同. 由于现阶段判定两条射线的方向是否相同缺乏数学的方法, 因此一般用等角定理的推论 1 先判断两个角相等或互补, 再结合具体的图形和题设确定是相等还是互补. 在学习了选择性必修的空间向量之后, 就可以用向量的方向来确定射线的方向. (2)对于异面直线,教材的定义“不同在任何一个平面上的两条直线”是一种否定性的叙述方式. 数学中只有极少数概念是用否定性的叙述方式下定义的,如无理数等, 这种定义方式学生不一定习惯, 也不容易理解. 可通过图示举例说明“不同在一个平面上”的含义, 也可适当介绍异面直线的定义等价的说法, 如“不可能在一个平面上的两条直线” “不能同在任何一个平面上的两条直线” “既不相交也不平行的两条直线”等帮助学生理解. 对于这种用否定形式定义的概念,在用定义来判定和证明时通常用反证法. (3)两条异面直线所成角的范围是 ${0}^{ \circ } < \theta \leq {90}^{ \circ }$ . 将两条异面直线平移至相交位置, 此时两条相交直线所形成的角中,范围在 ${0}^{ \circ } < \theta \leq {90}^{ \circ }$ 中的角才是两条异面直线所成的角. 在本章中, 有关异面直线所成角的例习题主要目的是帮助学生熟悉概念的形成过程以及空间直线的位置关系. 角的大小度量在空间向量中处理更为方便. (4)在纸上画直观图,其位置关系并不能得到准确地反映. 因此,在判断图形中两条直线的位置关系时, 要在观察、空间想象的基础上, 结合逻辑推理进行判断, 要养成言必有据的习惯. (5)与“二期课改”教材不同,本教材增加了异面直线判定定理和等角定理的两个推论, 主要是便于学生直接运用定理和推论进行判断与证明. ### 教学建议空间的平行直线的教学, 可以先用类比的方法提出问题: 平面上的平行线具有传递性, 空间的平行线是否还具有传递性? 引入课题后, 通过对实际情境和长方体模型的观察和思考, 可以直观地发现空间的平行线仍具有传递性, 进而提炼出公理 4. 这部分的难点是等角定理的证明. 证明时需要添加多条辅助线, 图形较为复杂, 对空间想象能力要求较高, 证明转折较多、过程较长. 如果能借助多媒体技术, 动画演示辅助线的添加过程、展示适当视角下图形的真实面貌, 有助于学生的理解和掌握. 在教学过程中可组织学生对例 2 边框中的问题进行讨论, 还可对“等角定理在平面上成立吗”“证明空间两条直线平行已有哪些方法”“关于平面图形的结论是否都可以推广到空间图形中来”等问题进行讨论. 异面直线的教学,可以先提出问题: 平面上的两直线只有平行和相交这两种位置关系, 空间的两直线是否还有其他的位置关系? 通过对实际情境和长方体模型的观察和思考, 发现空间的两直线还存在既不相交也不平行的情形, 进而将此位置关系定义为异面直线. 两条异面直线所成角的教学, 可以先通过道路指示牌等实际情境, 让学生体会到研究两条异面直线所成角的必要性. 然后让学生思考与讨论, 如何将两条异面直线所成角转化为两条相交直线的夹角? 如果通过平移的方法, 是否可以确保平移到不同位置后, 异面直线所成角的大小是唯一的? 异面直线部分的难点主要集中在以下三个方面: (1)异面直线的概念. 异面直线是学生接触到的一种新的位置关系,要通过长方体等实物模型让学生真切感受到其存在性. 对异面直线的定义, 要在解释文字含义的基础上, 通过一定数量的正例、反例加深理解. 可组织学生对 “分别在两个平面上的两条直线一定是异面直线吗”等问题进行讨论. (2)异面直线的判定与证明. 异面直线的判定与证明主要有异面直线的判定定理和反证法两种途径. 用判定定理证明两条直线异面, 首先要找到一个平面, 使得第一条直线上有两个点在此平面上, 第二条直线也有一个点在这个平面上, 然后只需证明第二条直线上有一个点在平面外即可. 判定定理的正确性是用反证法证明的, 学生之前对反证法的逻辑推理结构已有所了解, 但对其在几何中的应用不太熟悉, 建议在教学时此处应规范板书,详细讲解,因为反证法是证明两条直线异面的常用方法. (3)异面直线所成的角. 异面直线所成的角是新定义的几何量,新几何量的定义首先要保证其值具有唯一性. 对此, 除了用等角定理解释外, 还可利用教具或计算机软件将两条异面直线平移至不同的相交位置, 测量其夹角的大小发现均保持不变, 以加深对异面直线所成的角概念的理解. 由于不能直接通过异面直线测量其所成角的大小,需要构造对应的相交直线,可组织学生对“求异面直线所成角一般需要哪些步骤” 等问题进行讨论. #### 10.3 直线与平面的位置关系 ### 教学重点认识和理解直线与平面的各种位置关系, 通过探索、发现并证明直线与平面平行的判定定理和性质定理、直线与平面垂直的判定定理和性质定理以及三垂线定理等, 理解直线与平面所成的角的概念, 会用数学语言对一些结论进行论证, 认识到空间中的问题常常要转化到平面上来解决, 感受到平面和空间的相互转化的思想方法. 本节内容是在空间直线与直线的位置关系基础上进一步研究直线与平面的位置关系, 因此, 一个基本思路是把直线与平面的位置关系转化为空间直线与直线的位置关系. 同时, 直线与平面的位置关系也是进一步研究平面与平面的位置关系的基础. ### 内容分析直线与平面的位置关系是在研究直线与直线的位置关系的基础上进一步讨论的一个重要的空间位置关系. 本节内容的编排顺序是直线与平面平行的判定、性质; 直线与平面垂直的判定、性质; 直线与平面所成的角; 三垂线定理. 其中, 判定定理和性质定理的证明以及三垂线定理的理解和运用是难点所在. 直线与平面平行的判定定理和性质定理是互逆的, 可以合起来表述为: 如果过平面外一直线的平面与已知平面相交, 得到一条交线, 那么平面外的这一直线与已知平面平行的充要条件是这条直线与该交线平行. 教材用反证法证明了线面平行的判定定理, 简明扼要. 而对于线面平行的性质定理, 虽然也可以用反证法证明, 但教材是用直接法证明的, 其意在于为教学提供不同的处理角度. 直线与平面平行的判定定理是通过直线间的平行, 进而证明直线和平面平行, 这是处理空间位置关系的一种基本方法, 即将直线和平面平行关系 (空间问题) 转化为直线与直线平行关系(平面问题), 体现了 “直线与直线平行” 与 “直线与平面平行” 互相转化的数学思想. 反过来, 直线与平面平行的性质定理是由直线与平面平行, 进而证明直线与直线平行, 是根据直线与平面平行的定义以及平行线的定义来证明的, 仍然是将空间问题转化为平面问题. 直线与平面平行的性质定理是证明直线与直线平行的一个重要依据. 例 1 和例 2 都是线面平行的判定定理的直接运用, 所呈现的正方体与空间四边形模型都是典型的, 在下一节学习面面平行的判定定理时还将会用到. 例 3 是直线与平面平行关系的一个实际应用. 可以让学生自己找一些空间直线与平面位置关系在建筑、工程中的实际应用. 直线与平面垂直的定义涉及平面上的无穷多条直线, 在现阶段不具有操作性, 需要把无限转化为有限情形, 所以教材给出直线与平面垂直的判定定理. 判定定理体现了 “直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想, 也反映了数学的一种简洁美, 即将直线与平面内所有直线的垂直转化为直线与平面内两条相交直线的垂直. 例 4 实际上可以用于判定直线与平面垂直. 虽然教材没有把它作为定理, 不能直接使用, 但学生在掌握此例的证明过程后, 也可以成为解决相关问题的一种思路. 在学习了平面的法向量概念后, 例 4 的结论变得更加直接明了. 在研究线面垂直的性质定理后, 教材及时给出了两条推论: 过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直; 过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直. 这不仅丰富学生对线面垂直位置关系的体验, 促进空间观念的形成, 也为后续学习带来方便. 这两条推论的证明过程用的是反证法的思想, 虽然不难, 但图形比较复杂, 对一般的学生可以不作要求. 本节练习 10.3(4)第 3 题是对例 7 的复习和巩固,考虑到学生的实际情况,还可以作适当引申,为后面的三垂线定理教学服务. 在讨论了直线与平面的两种特殊位置关系——平行与垂直后, 教材进一步讨论空间直线与平面的一般位置关系, 即通常讲的 “斜交”, 我们把这样的直线称为平面的一条斜线. 为了确定平面的斜线与平面的位置关系, 教材引进了直线与平面所成角的概念. 其思路仍然是转化为两条相交直线的夹角. 虽然平面的斜线与平面有唯一的交点, 但平面内经过交点的直线有无穷多条, 为了保证斜线与平面所成角的唯一性, 我们想到了斜线在平面上的投影. 于是我们将斜线与其在平面上的投影所成的锐角定义为斜线与平面所成的角. 例 6 保证了用垂线段定义点到平面距离的合理性 (垂线段是该点与平面上任意一点所连线段中最短的), 例 7 则保证了斜线与平面所成的角的定义的合理性, 即斜线与平面上的射影所成的锐角是它与平面上任意一条直线所成角中的最小角. 这两个例题反映了几何中度量的一个基本特征, 即所定义的几何量必须是最小的, 也是唯一的. 三垂线定理是讨论空间直线垂直关系时常用的工具, 也有助于帮助学生建立空间观念. 虽然学生对定理的理解有一定的难度, 课程标准也不再作为基本要求, 本套教材还是保留了这个经典定理, 并用充要条件的形式把原定理与逆定理合二为一. 这样使得定理的表述更为简洁, 也省去了区分原定理和逆定理的麻烦. 例 9 是一个应用三垂线定理解决实际问题的典型例题, 很好地诠释了三垂线定理的工具性. ### 注意事项本章中说理证明的例题比较多, 在证明过程的书写中, 应该重视的是富有逻辑的严格推理的思维表达. 对于教材上的练习,要多引导学生正确地画出示意图. 本章定理的学习要借助实际情境或教学模型, 通过动手操作、多角度观察, 发现其中的规律, 引导学生运用数学语言表达规律, 尝试严格的演绎论证. 线面垂直的判定定理的证明比较繁琐, 如果利用空间向量的有关知识来证明则很简洁, 所以在本章教学中, 通过实验观察、操作发现, 抽象确认定理的成立即可, 严格的证明可以留待空间向量中完成. 三垂线定理是本章的一个重点, 要体现其教育教学价值, 而不是仅仅为了解题方便, 更不需要增加运用的深度和难度. 虽然淡化了定理与逆定理的区别, 但要清楚充分性和必要性的含义. 本节内容与“二期课改”教材相比,除了线面垂直的判定定理外,增加了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的性质定理等一些重要结论, 增加的内容比较多, 特别是增加了对一些几何结论的推理论证要求. 但淡化了直线与平面所成的角、距离的计算问题. 注意直线与平面各种位置关系的直观图的正确画法, 注意正确使用符号语言表示直线与平面的各种位置关系. 积极运用多媒体信息技术,发展学生的空间想象能力. ### 教学建议 (1)直线与平面的位置关系. 直线与平面的位置关系的研究, 是在直线与直线的位置关系的研究基础上进行的. 要充分地利用教室空间中的实物、学生熟悉的实例、教具等基本几何模型, 通过观察模型, 抽象出直线与平面之间的各种位置关系, 以培养学生的空间想象能力和抽象概括能力. 以公理 1 为基础进行分析, 对直线与平面的位置关系的探究, 可从它们的公共点个数出发, 分类讨论, 达到知识之间相互联系的目的. (2)直线与平面平行. 房门两边是平行的,当房门绕着一边转动时,另一边所在的直线始终和门框所在的平面平行. 观察长方体中, 棱所在的直线和哪些平面平行. 通过关注现实世界中大量的直线与平面的平行关系, 从实例出发, 引入直线与平面平行的判定定理. 引导学生积极地发现规律, 准确地用数学语言表达定理, 并加以严格的证明. 直线与平面平行的性质定理也可以用反证法证明: 已知: 直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 平行,过直线 $a$ 的一个平面 $\beta$ 与平面 $\alpha$ 相交于直线 $b$ (图 10-R1). 求证: $a//b$ . 证明: 假设 $a$ 不平行于 $b$ . 因为 $a\text{、}b$ 都在平面 $\beta$ 上,所以 $a$ 与 $b$ 相交,设交点为 $P$ . 又因为 $P$ 在 $b$ 上, $b$ 在平面 $\alpha$ 上,所以点 $P$ 在平面 $\alpha$ 上. 而 $P$ 在 $a$ 上,所以 $P$ 是 $a$ 与 $\alpha$ 的交点. 这与 $a//\alpha$ 矛盾. 假设不成立,所以 $a//b$ . ![bo_d402s6jef24c73d2tl40_31_1077_192_294_170_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_31_1077_192_294_170_0.jpg) 图 ${10} - \mathrm{R}1$ 为了便于记忆, 直线与平面平行的判定定理可简述为“线线平行则线面平行”,性质定理可简述为“线面平行则线线平行”. (3) 直线与平面垂直. 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形, 是一种重要的位置关系, 是构建空间观念的一个重要途径. 在实际生活中有很多直观的例子, 对此可以启发学生观察直立的旗杆与其在地面上的投影的位置关系, 抽象形成直线与平面垂直的定义. 通过提问“直线垂直于平面上的无穷多条直线, 是否确定直线垂直于平面”, 帮助学生辨析“无数条直线”与“任意一条直线”的区别,以正确理解概念. 直线与平面垂直的判定定理可以通过教材上介绍的实验引入,这里要着重引导学生动手操作,折出折痕与底边不垂直和垂直两种情形,观察折痕所在的直线与桌面所在的平面上的直线满足怎样的位置关系, 才能使得直线与平面垂直. 使学生经历 “实验操作一观察探索一模型抽象一概括确认”这样的认识过程. 直线与平面垂直的判定定理将直线与平面垂直的判定转化为直线与直线垂直的判定, 即只要在平面上找到两条相交直线都和这条直线垂直就可以了. 这里必须强调平面上的两条直线是相交直线. 直线与平面垂直的判定定理也是平面法向量存在的基础. 直线与平面垂直的性质定理又是用反证法证明的, 在证明过程中要注意的是, 其中与直线 $a$ 平行的直线 ${b}^{\prime }$ 是在点 $B$ 与直线 $a$ 确定的平面上作出的. 线面垂直的性质定理是判断两条直线平行的重要依据. 由线面垂直的定义和性质定理可以直接得出两条重要结论: “过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直.” “过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直.” (4) 直线与平面所成的角. 直线与平面所成的角用来刻画直线与平面的位置关系. 生活中的实例, 如固定电线杆的斜拉绳与地面、标枪投掷着地后标枪与地面等都给我们以直线与平面斜交的形象, 观察它们位置关系的差异, 说明用角度刻画直线与平面位置关系的必要性. 异面直线所成的角是通过转化为同一平面上的两条相交直线所成的角来定义的. 那么, 直线与平面所成的角是否也可以通过转化为同一平面上两条相交直线所成的角来定义呢? 因为斜线和平面上不同直线所成的角不都相同, 所以要探寻用哪个角来表示斜线与平面的倾斜程度最合适. 用斜线与它在平面上的投影所成的角来刻画直线与平面的倾斜程度, 是因为斜线在平面上的投影是唯一的, 并且斜线与投影所成的角是这条斜线与平面上任何直线所成角中的最小的角. 教材上例 7 就是证明了这个结论. 直线与平面所成的角的定义说明了求直线与平面所成的角的方法: (1)确定斜线与平面的交点即斜足; (2)由斜线上(不是斜足)的任意一点作平面的垂线, 确定垂足; (3)连接斜足和垂足得到斜线在平面上的投影；何时平面所成的角. 及时指出,关于直线垂直于平面、直线平行于平面或在平面上的情形, 要注意教材上的约定. (5) 三垂线定理是研究空间直线与直线垂直关系的重要命题. 没有分别叙述为定理与三垂线定理是研究空间直线与直线垂直关系的重要命题. 没有分别叙述为定理与逆定理, 而是使用“充要条件”来表达三垂线定理中两个条件的意义. 从逻辑上看, 三垂线定理只是把一个常用的推理过程“压缩”成一个工具性的定理, 并没有增加新的结论. 作为定理的意义, 除了方便使用、缩短相关的推理过程外, 也有利于直观地判断空间直线的垂直关系. 例如, 在用切纸刀切纸时, 假设 ${PA}$ 是刀口, ${AB}$ 是刀槽, ${MN}$ 是被切的纸条. 根据三垂线定理,只要将被切的纸条 ${MN}$ 放在和刀槽 ${AB}$ 垂直的位置, 就可以保证 ${MN}$ 也和刀口 ${PA}$ 垂直(图 10-R2). ![bo_d402s6jef24c73d2tl40_32_1108_1140_325_244_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_32_1108_1140_325_244_0.jpg) 图 10-R2 三垂线定理阐明了平面的斜线、垂线, 斜线在平面上的射影以及平面上的直线之间的内在联系, 是处理有关空间直线的垂直关系的重要工具, 是实现平面与空间相互转化的一个有效途径. 三垂线定理的证明方法体现了“线线垂直”与“线面垂直”互相转化的思想. 要重视体现三垂线定理的教学价值,关注学生对三垂线定理的学习,更好地发展学生的空间观念. 在本套教材选择性必修第 3 章“空间向量及其应用”的 3.4 节“空间向量在立体几何中的应用”中还将给出三垂线定理的向量证明, 但没有重述三垂线定理的重要性. 希望老师们都能认真讲好本节所给的定理的意义及其纯几何证明, 让学生掌握这一重要的几何知识, 也为学生将来学习向量的应用, 理解几何方法和向量方法的相辅相成做好铺垫. #### 10.4 平面与平面的位置关系 ### 教学重点本节内容是在空间直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系的基础上进一步研究平面与平面的位置关系. 认识和理解平面与平面的各种位置关系, 通过探索、发现并证明平面与平面平行的判定定理和性质定理、平面与平面垂直的判定定理和性质定理等, 理解二面角的概念, 认识到空间中的问题常常要转化到平面上来解决, 进一步感悟平面和空间相互转化的思想方法. ### 内容分析教材在“10.1 平面及其基本性质”中根据公理 3 ,按照平面与平面有没有公共点已经讨论了两个平面的位置关系. 平面与平面的位置关系是在研究直线与平面的位置关系的基础上进一步讨论的又一重要的空间图形的位置关系. 本节内容的编排顺序是平面与平面平行的判定、性质; 平面与平面所成的角; 平面与平面垂直的判定、性质. 其中, 判定定理和性质定理的证明是难点所在. 由平面与平面平行的定义可知, 如果两个平面平行, 那么其中一个平面上的任意一条直线都平行于另一个平面；反之亦然. 但由于一个平面上有无穷多条直线,因此需要把“无限”转化为“有限”, 由此引进了平面与平面平行的判定定理. 判定定理是通过直线与平面的平行, 进而达到证明平面与平面平行的目的, 这是处理空间位置关系的一种常用方法,体现了“直线与平面平行”和“平面与平面平行”互相转化的数学思想. 反过来, 平面与平面平行的性质定理是由平面与平面平行, 进而证明直线与直线平行, 是根据平面与平面平行的定义以及平行线的定义来证明的, 仍然是将空间问题转化为平面问题. 平面与平面平行的性质定理是证明直线与直线平行的一个重要依据, 体现了“平面与平面平行”和“直线与直线平行”互相转化的数学思想. 例 1 是运用平面与平面平行的判定定理讨论长方体模型中两个截面的平行问题. 长方体是研究平面与平面平行关系的一个直观模型, 教学时可以不限制于教材中给定的截面. 可以让学生从长方体的表面开始, 到一些简单的截面, 充分讨论长方体表面与截面的各种平行位置. 熟悉定理的同时, 理解平面与平面平行的充分与必要条件. 两个平面平行的性质定理的推理过程并不复杂, 难的是看清复杂空间图形中的各种位置关系. 教学时可以让学生先看长方体教具模型, 然后让他们自己尝试去画一画题设图形, 在这一过程中可以培养空间想象能力. 例 2 是两个平面平行的性质定理的简单应用. 教材给出的证明是基于直线与平面垂直的定义的, 教学时也可以让学生运用直线与平面垂直的判定定理来完成. 二面角是刻画两个相交平面位置关系的一个度量. 在国家课程标准中没有对二面角的概念提出要求, 本套教材之所以把它列入教学内容, 一方面是为了知识体系的完整性, 因为二面角是确定两个平面一般位置的基本方法; 另一方面也是为学生进一步发展直观想象与空间推理能力提供机会. 教学的重点可以放在二面角的平面角的构造上, 角的度量大小可以在后期的空间向量中重点解决. 教材从直二面角引入平面与平面垂直的概念, 这样就把平面与平面垂直看作是二面角的一种特殊情况. 平面与平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”和“平面与平面垂直”互相转化的数学思想. 由于两个平面垂直的判断以后可以利用平面的法向量来解决, 因此这里只要求学生能够处理正方体和长方体中的一些相关问题. ### 注意事项在探究两个平面的位置关系时可以类比平面几何中的两条直线的位置关系, 其研究思路则是转化为直线与平面的位置关系. 对于平面与平面的位置关系所要研究的内容和方法, 要始终结合直线与平面的位置关系所研究的内容和方法, 引导学生进行类比. 如果直线与直线、直线与平面的位置关系在头脑中牢固建立了, 那么平面与平面的位置关系的学习就会轻车熟路. 平面与平面平行的判定定理的证明用的是反证法, 并不难证明, 但需要一定的空间想象能力. 平面与平面垂直的判定定理的证明, 是先作出二面角, 然后说明这个二面角是直二面角, 从而根据定义就证明了平面与平面垂直. 这些都是培养学生的逻辑推理能力的有利时机. 本节内容与“二期课改”教材相比,增加了面面平行的判定定理和性质定理、面面垂直的判定定理和性质定理等一些重要结论, 尤其是增加了对推理论证的要求. 二面角的学习不仅仅是为定义面面垂直服务, 更是为了完善平面与平面的位置关系, 培养学生的空间想象能力. 这里可以淡化平面与平面所成的角、距离的计算问题. 注意平面与平面各种位置关系的直观图的正确画法, 注意正确使用符号语言表示平面与平面的各种位置关系. ### 教学建议 (1)平面与平面平行. 借助实际情境,如教室、长方体模型、三角板等,通过观察、实验、操作,探索发现平面与平面平行的判定定理和性质定理. 通过演绎论证, 尝试证明判定定理和性质定理. 平面与平面平行的判定定理说明, 可以通过直线与平面平行证明平面与平面平行. 平面与平面平行的性质定理说明, 可以通过平面与平面平行证明直线与直线平行. 教材用反证法简明扼要地证明了平面与平面平行的判定定理, 而对于平面与平面平行的性质定理, 也可以引导学生用反证法证明. 教材中通过水平仪应用的例子, 说明了判定定理的应用性, 不但帮助学生理解定理的内涵,还和实际的生活工作相联系,丰富学生的生活知识,为提高学生的实践能力作准备. 在平面几何中, 有结论 “若一条直线垂直于两条平行直线中的一条, 则它必垂直于另一条直线”. 那么在立体几何中,是否有类似的结论成立呢？这就引出了例 2 的教学. 这里, 可以根据学生的实际情况, 引入国家课程标准中的“案例 11 正方体截面的探究”. 结合正方体截面设计的问题串, 引导学生完成探究、发现、证明新问题的过程, 积累数学探究的经验. 【案例 11】用一个平面截正方体, 截面的形状将会是什么样的? 启发学生提出逐渐深入的系列问题, 引导学生进行逐渐深刻的思考. 学生可以自主或在教师引导下提出一些问题, 例如: (1)给出截面图形的分类原则,找到截得这些形状截面的方法,画出这些截面的示意图. 例如, 可以按照截面图形的边数进行分类(图 10-R3). (2)如果截面是三角形,可以截出几类不同的三角形？为什么？ (3)如果截面是四边形, 可以截出几类不同的四边形? 为什么? (4)还能截出哪些多边形？为什么？然后进一步探讨: (5)能否截出正五边形？为什么？ (6)能否截出直角三角形？为什么？ (7)有没有可能截出边数超过 6 的多边形? 为什么? (8)是否存在正六边形的截面？为什么？ (9)截面面积最大的三角形是什么形状的三角形？为什么？ ![bo_d402s6jef24c73d2tl40_36_498_614_622_457_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_36_498_614_622_457_0.jpg) 图 10-R3 这是一个跨度很大的数学问题串, 可以针对不同学生, 设计不同的教学方式, 通过多种方法实施探究. 例如,可以通过切萝卜块观察,启发思路；也可以在透明的正方体盒子中注入有颜色的水,观察不同摆放位置、不同水量时的液体表面的形状；还可以借助信息技术直观快捷地展示各种可能的截面. 但是, 观察不能代替证明. 探究的难点是分类找出所有可能的截面, 并证明哪些形状的截面一定存在或者一定不存在. 可以鼓励学生通过操作观察, 形成猜想, 证明结论. 经历这样逐渐深入的探究过程, 有利于培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力, 在具体情境中提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等素养,积累数学探究活动经验. (2)二面角. 二面角是平面上“角”的概念的类比,是两个相交平面位置关系的描述. 可以从开门、翻书、笔记本电脑打开时的状态等生活中的实例引入二面角的概念. 角的大小可以测量, 并得到一个确定的量, 二面角的大小也必须用一个量来刻画, 所以引入了二面角的平面角的概念, 用平面角的大小来刻画二面角的大小. 这里要强调的是, 虽然二面角的平面角不唯一, 但所有平面角的大小是一样的, 从而给出一个确定的量来刻画二面角的大小. 在此基础上, 再类比平面上的直角, 就定义了直二面角以及平面与平面的垂直关系. 平面与平面垂直的判定定理和性质定理说明, 直线与平面的垂直关系和平面与平面的垂直关系的互相转化, 是解决空间图形问题的一种重要思想方法. #### *10.5 异面直线间的距离 ### 教学重点认识和理解两条异面直线的公垂线以及公垂线的存在性与唯一性, 进一步完善空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系以及研究方法, 进一步发展直观想象和逻辑推理核心素养. ### 内容分析教材首先启发思考仅考察两条异面直线所成的角还不能完整地刻画两条异面直线的位置关系, 而与两条异面直线都垂直并且相交的直线是存在且唯一的, 证明这个定理之后, 定义了两条异面直线的公垂线概念. 这样就完善了对空间中两条异面直线的位置关系的全面认识. 因为公垂线段难以作出来, 所以求两条异面直线间的距离一般是比较困难的. 这就常常要将异面直线间的距离转化为线面或面面间的距离. 本节的定理的存在性证明过程, 也提供了如何去寻找两条异面直线的公垂线的方法. 例 1 是在正方体中求简单情形下的异面直线间的距离, 其中第 (1) 小题能够直接找到公垂线段, 第 (2) 小题需要将异面直线间的距离转化为直线与平面之间的距离. 这两种情况具有一定的典型性. 例 2 是在四面体中解决异面直线间的距离问题, 其中需要综合二面角等有关知识. 练习 10.5 的第 3 题虽然是求分别在两条异面直线上的两点间的距离问题, 但实际上也是间接地给出了求异面直线间距离的一种方法. ### 注意事项在学习两条异面直线的公垂线的概念时, 应注意强调 “与两条异面直线都垂直且相交”中的“相交”二字,因为空间中的两条直线垂直不一定相交,但这里必须相交, 才能确定公垂线段. 本节内容的处理方式和要求与“二期课改”教材不同,这也是为了完善发展学生的空间观念而编写的, 供学有余力的学生学习, 在解题上不宜要求过高, 只需要知道相关的概念即可. ### 教学建议生活中有大量的异面直线的公垂线的例子, 例如桥面中心直线与桥下船只行驶的路线是异面直线, 不难找到公垂线. 借助生活中的实例, 如教室、长方体模型等, 找到或者作出两条异面直线的公垂线. 认识和理解两条异面直线的公垂线概念及其距离, 是本节教学的重点, 初步感受求异面直线间的距离的多种方法. 练习 10.5 的第 3 题也从具体问题中说明了, 两条异面直线间的距离是两条异面直线上两点间的距离的最小值. #### 三、参考答案或提示 ##### 10.1 平面及其基本性质练习 $\mathbf{{10}.1\left( 1\right) }$ 1. (1) $A \in a, B \in a, A \in \alpha , B \in \beta$ . (2) $P \in l, P \in a, P \in b, P \in \alpha$ , $P \in \beta ,\;a \subset \alpha , b \subset \beta ,\alpha \cap \beta = l, a \cap l = P, b \cap l = P, a \cap b = P.$ 2. 已知: 四边形 ${ABCD},{AD} \subset \alpha ,{AB} \subset \alpha ,{BC} \subset \alpha$ . 求证: ${CD} \subset \alpha$ . 证明: 因为 ${AD} \subset \alpha ,{BC} \subset \alpha$ ,所以 $D \in \alpha , C \in \alpha$ . 由公理 1,知 ${CD} \subset \alpha$ . 练习 $\mathbf{{10.1}\left( 2\right) }$ 1. 因为直线 $c$ 与 $a\text{、}b$ 都相交,所以可设 $a \cap c = A, b \cap c = B$ . 又已知 $a//b$ ,由推论 3,可知 $a\text{、}b$ 确定一个平面,设该平面是 $\alpha$ . 因为 $a \subset \alpha , b \subset \alpha$ ,所以 $A \in \alpha , B \; \in \alpha$ . 再由公理 1,知 ${AB} \subset \alpha$ ,即 $c \subset \alpha$ ,所以 $a\text{、}b\text{、}c$ 在同一平面上. 2. 就是 ${A}_{1}B$ 与 $A{B}_{1}$ 的交点. 理由: 因为 ${A}_{1}B$ 与 $A{B}_{1}$ 都在平面 ${AB}{B}_{1}{A}_{1}$ 上. 3. 略. 练习 ${10.1}\left( 3\right)$ 1. 略. 2. 略. 3. (1) ${BD}{D}_{1}{B}_{1},{ABCD}$ (答案不唯一). 练习 10.1(4) 1. 略. 2. 略. 习题 10.1 A 组 1.(1)∈. (6) ${A}_{1}$ . (7) C. 2.(1) $A \in \alpha$ . (2) ${AC} \subset \alpha$ . (3) $B \notin \beta$ . (4) ${BC}//\beta$ ,图略. 3.(1)是,不共线的三点确定一个平面. (2)是,两条平行直线确定一个平面. (3)不是,如空间四边形. (4)是,两条平行直线确定一个平面. 4.(1)假命题,如四点为平行四边形的四个顶点时. (2)真命题,若三点共线而另一点在线外,由公理 2 推论 1 可得共面；若四点共线, 则显然共面. (3)假命题,如四点为平行四边形的四个顶点时. (4)真命题,用反证法即可证明. 5. 已知: $l\text{、}m$ 是两条直线, $l \cap m = A$ . 求证: $l\text{、}m$ 确定一个平面. 证明: 在 $l$ 上取异于 $A$ 的一点 $B$ ,在 $m$ 上取异于 $A$ 的一点 $C$ ,则 $A\text{、}B\text{、}C$ 不在同一直线上. 由公理 2,知 $A\text{、}B\text{、}C$ 三点可确定一个平面 $\alpha$ . 因为 $A \in \alpha , B \in \alpha$ ,由公理 1,知 ${AB} \subset \alpha$ ,即 $l \subset \alpha$ ,同理 $m \subset \alpha$ ,所以 $l\text{、}m$ 确定一个平面. 6. C. 7. 因为 ${AC}//{BD}$ ,由推论 3,可知 ${AC}$ 与 ${BD}$ 确定一个平面 $\beta$ ,所以 $A \in \beta , B \in \beta$ . 由公理 1,知 ${AB} \subset \beta$ ,即 $l \subset \beta$ . 因为 $O \in l$ ,所以 $O \in \beta$ ,因为 $C \in \beta , D \in \beta , O \in \alpha$ , $C \in \alpha , D \in \alpha$ ,记 $\alpha \cap \beta = m$ ,则 $O \in m, C \in m, D \in m$ ,所以 $O\text{、}C\text{、}D$ 三点共线. 8. 略. B 组 1.4 或 6 或 7 或 8 . 2. D. 3. 三点共线. 4. 因为 $O \notin l$ ,由公理 2 推论 1,知 $O$ 与 $l$ 可确定平面 $\alpha$ ,所以 $O \in \alpha , l \subset \alpha$ . 因为 $A\text{、}B\text{、}C$ 在直线 $l$ 上,所以 $A \in \alpha , B \in \alpha , C \in \alpha$ . 由公理 1,知 ${OA} \subset \alpha ,{OB} \subset \alpha$ , ${OC} \subset \alpha$ . 5. 由公理 2,知 $A\text{、}B\text{、}C$ 可确定一个平面 $\beta$ ,所以 ${AC} \subset \beta$ . 因为 $D \in {AC}$ ,所以 $D \in \beta$ ,又因为 $D \in \alpha$ ,所以 $D \in \alpha \cap \beta$ . 同理 $E \in \alpha \cap \beta , P \in \alpha \cap \beta$ ,由公理 3,知点 $P$ 在直线 ${DE}$ 上. 6. 因为 ${EF} \cap {HG} = Q$ ,所以 $Q \in {EF}$ ,又因为 ${EF} \subset$ 平面 ${ABCD}$ ,所以 $Q \in$ 平面 ${ABCD}$ . 同理可得, $Q \in$ 平面 ${DC}{C}_{1}{D}_{1}$ . 又平面 ${ABCD} \cap$ 平面 ${DC}{C}_{1}{D}_{1} = {DC}$ ,所以 $Q \in {DC}$ . ##### 10.2 直线与直线的位置关系 ### 练习 $\mathbf{{10}.2\left( 1\right) }$ 1. 相交. 在长方体 ${ABCD} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中, ${A}_{1}{D}_{1}//{AD},{A}_{1}{D}_{1} = {AD}$ ,且 ${BC}// \; {AD},{BC} = {AD}$ ,所以 ${A}_{1}{D}_{1}//{BC},{A}_{1}{D}_{1} = {BC}$ ,故四边形 ${A}_{1}{BC}{D}_{1}$ 为平行四边形. 又 ${A}_{1}C$ 与 $B{D}_{1}$ 为其对角线,所以 ${A}_{1}C$ 与 $B{D}_{1}$ 相交于一点. 2. 解法 1: 如图 10-R4,过 $M$ 作 $M{M}_{1} \bot {AB}$ ,垂足为 ${M}_{1}$ ,过 $N$ 作 $N{N}_{1} \bot {CD}$ ,垂足为 ${N}_{1}$ ,由 $M{M}_{1}// \; A{A}_{1}, N{N}_{1}//D{D}_{1}$ . 又 $A{A}_{1}//D{D}_{1}$ ,所以 $M{M}_{1}//N{N}_{1}$ , 故 $M{M}_{1}{N}_{1}N$ 为平行四边形,从而 ${MN}//{M}_{1}{N}_{1}$ . 故只需在平面 ${ABCD}$ 上过 $P$ 作 ${M}_{1}{N}_{1}$ 的平行线. ![bo_d402s6jef24c73d2tl40_40_1052_1449_378_294_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_40_1052_1449_378_294_0.jpg) 图 $\mathbf{{10} - {R4}}$ 解法 2: 如图 10-R4,分别在 ${AB}\text{、}{CD}$ 上取点 ${M}_{1}$ 、 ${N}_{1}$ ,使得 $A{M}_{1} = {A}_{1}M, D{N}_{1} = {D}_{1}N$ ,则 $M{M}_{1}//N{N}_{1}$ 且 $M{M}_{1} = N{N}_{1}$ ,故四边形 $M{M}_{1}{N}_{1}N$ 为平行四边形,即 ${MN}//{M}_{1}{N}_{1}$ ,过 $P$ 作 $l// \; {M}_{1}{N}_{1}$ ,所以 $l//{MN}$ . 3. 提示: 利用等角定理证明. 练习 10.2(2) 1. 略. 2. 相交或异面. 3. 图略, ${AF}\text{、}{BM}\text{、}{ME}$ . 练习 10.2(3) 1.4 条. 2. 图略, $\angle {D}_{1}B{C}_{1}$ (答案不唯一). 习题 10.2 A 组 1. 已知: $l\text{、}m$ 是两条直线,且 $l//m$ . 求证: $l\text{、}m$ 确定一个平面. 证明: 存在性. 在直线 $l$ 上取一点 $A$ ,因为 $l//m$ ,所以 $A \notin m$ ,由公理 2 的推论 1 知,经过直线 $m$ 和 $m$ 外的一点 $A$ 存在一个平面 $\alpha$ . 在平面 $\alpha$ 内过点 $A$ 作直线 ${l}^{\prime }// \; m$ ,由公理 4 知, ${l}^{\prime }$ 和 $l$ 只能重合,即 $l \subset \alpha$ 且 $m \subset \alpha$ . 唯一性. 假设存在另一个不同于 $\alpha$ 的平面 $\beta$ ,使得 $l \subset \beta$ 且 $m \subset \beta$ . 在直线 $l$ 上取一点 $A$ ,因为 $l//m$ ,所以 $A \notin m$ ,此时经过直线 $m$ 和 $m$ 外的一点 $A$ 有两个不同的平面 $\alpha$ 和 $\beta$ ,与公理 2 的推论 1 相矛盾. 唯一性得证. 所以 $l\text{、}m$ 确定一个平面. 2. D. 3. 提示: 因为 ${MN}//{AC},{AC}//{A}_{1}{C}_{1}$ ,所以 ${MN}//{A}_{1}{C}_{1}$ . 4. ③④. 5. (1)不成立. 直线 $C{C}_{1} \subset$ 平面 ${DC}{C}_{1}{D}_{1}, M \in$ 平面 ${DC}{C}_{1}{D}_{1}, M \notin C{C}_{1}, A \notin$ 平面 ${DC}{C}_{1}{D}_{1}$ ,由异面直线判定定理知,直线 ${AM}$ 与直线 $C{C}_{1}$ 是异面直线,故直线 ${AM}$ 与直线 $C{C}_{1}$ 不相交. (2)不成立. 取 $D{D}_{1}$ 中点 $P$ ,连接 ${PN}$ 、 ${PA}$ . 由 ${PN}//{DC}$ , ${AB}//{DC}$ 知 ${PN}// \; {AB}$ ,所以 ${PNBA}$ 四点共面. 因为 ${BN} \subset$ 平面 ${PNBA}, A \in$ 平面 ${PNBA}, A \notin {BN}$ , $M \notin$ 平面 ${PNBA}$ ,由异面直线判定定理知,直线 ${AM}$ 与直线 ${BN}$ 是异面直线,故直线 ${AM}$ 与直线 ${BN}$ 不平行. (3)成立. 直线 $D{D}_{1} \subset$ 平面 ${A}_{1}{AD}{D}_{1}, A \in$ 平面 ${A}_{1}{AD}{D}_{1}, A \notin D{D}_{1}, M \notin$ 平面 ${A}_{1}{AD}{D}_{1}$ ,由异面直线判定定理知,直线 ${AM}$ 与直线 $D{D}_{1}$ 是异面直线. 6. 假设直线 ${AC}$ 与 ${BD}$ 不是异面直线,则直线 ${AC}$ 与 ${BD}$ 共面,所以直线 ${AB}$ 与 ${CD}$ 共面,与直线 ${AB}\text{、}{CD}$ 成异面直线矛盾,所以假设不成立. 7. 如图 10-R5,取 ${AC}$ 的中点 $M$ ,连接 ${EM}\text{、}{FM}$ . 因为 $E$ 是 ${BC}$ 的中点,所以 ${EM}//{AB}$ ,所以 $\angle {FEM}$ 或其补角就是异面直线 ${EF}$ 与 ${AB}$ 所成的角,且 ${EM} = \frac{1}{2}{AB}$ . 又因为 $F$ 是 ${AD}$ 的中点,所以 ${FM}//{DC}$ 且 ${FM} = \frac{1}{2}{DC}$ . 因为 ${EM}//{AB},{FM}//{DC},{AB} \bot {CD}$ ,所以 ${FM} \bot {EM}$ . 因为 ${FM} = \frac{1}{2}{DC},{EM} = \frac{1}{2}{AB},{AB} = {CD}$ ,所以 ${EM} = {FM}$ ,所以 $\bigtriangleup {FEM}$ 是等腰直角三角形,因此异面直线 ${EF}$ 与 ${AB}$ 所成角的大小为 ${45}^{ \circ }$ . ![bo_d402s6jef24c73d2tl40_42_1082_195_356_313_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_42_1082_195_356_313_0.jpg) 图 $\mathbf{{10} - {R5}}$ ### B 组 1. B. 2. 提示: 两个都是等边三角形, 也可用等角定理证明. 3. (1)平行. (2)异面. (3)相交. (4)异面. 4. 假设 ${MN}$ 和 ${PQ}$ 不是异面直线,则它们共面,不妨记为 $\beta$ ,则 ${MN} \subset \beta ,{PQ} \subset \; \beta$ ,所以 $Q \in \beta , M \in \beta , P \in \beta$ . 由公理 1,可知 ${MP} \subset \beta$ ,即 $a \subset \beta$ ,又 $O \in a$ ,所以 $O \in \beta$ . 由公理 1,可知 ${OQ} \subset \beta$ ,即 $c \subset \beta$ ; 同理 $b \subset \beta$ . 这与 $a\text{、}b\text{、}c$ 不在一个平面上矛盾,假设不成立,所以 ${MN}$ 和 ${PQ}$ 是异面直线. 5. 如图 10-R6,取 ${BC}$ 的中点 $E$ ,连接 ${EM}\text{、}{EN}$ . 因为 $E$ 是 ${BC}$ 的中点,所以 ${ME}//{AC},{EN}//{BD}$ ,所以 $\angle {MEN}$ 或其补角就是异面直线 ${AC}$ 与 ${BD}$ 所成的角,所以 $\angle {MEN} = {90}^{ \circ }$ . 又因为 ${EM} = \frac{1}{2}{AC} = 4,{EN} = \frac{1}{2}{BD} = 3$ , 所以 ${MN} = \sqrt{{3}^{2} + {4}^{2}} = 5$ . ![bo_d402s6jef24c73d2tl40_42_1083_1609_355_303_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_42_1083_1609_355_303_0.jpg) 图 $\mathbf{{10} - {R6}}$ 6. 当 ${AC}$ 与 ${BD}$ 垂直时, ${EFGH}$ 是矩形; 当 ${AC}$ 与 ${BD}$ 相等时, ${EFGH}$ 是菱形; 当 ${AC}$ 与 ${BD}$ 既垂直又相等时, ${EFGH}$ 是正方形. #### 10.3 直线与平面的位置关系 ### 练习 $\mathbf{{10}.3\left( 1\right) }$ 1. (1)平面 ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ ,平面 ${DC}{C}_{1}{D}_{1}$ . (2)平面 ${BC}{C}_{1}{B}_{1}$ . 2.(1)假命题. 因为当直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 相交时,除交点外其余的点有无数个,且不在平面 $\alpha$ 上. (2)假命题. 因为若将平面 $\alpha$ 上与 $a$ 平行的直线记为 $b$ ,则在平面 $\alpha$ 上与 $b$ 相交的直线都不与 $a$ 平行. (3)假命题. 反例:若 $a//b, a//\alpha , b$ 在平面 $\alpha$ 上,显然 $b$ 与平面 $\alpha$ 不平行. (4)真命题. 由直线和平面平行的判定定理可知. 3. 此时,直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 相交,设 $l \cap \alpha = P$ . (1)不成立. 因为平面 $\alpha$ 上过点 $P$ 的直线与 $l$ 不是异面直线的关系. (2)成立. 如果存在与 $l$ 平行的直线,那么 $l$ 就平行于平面 $\alpha$ ,这与已知矛盾. (3)不成立. 理由同(2). (4)不成立. 平面 $\alpha$ 上不过点 $P$ 的直线都与 $l$ 不相交. ### 练习 $\mathbf{{10}.3\left( 2\right) }$ 1.(1)假命题. 记 $a\text{、}b$ 确定的平面为 $\alpha$ ,则 $\alpha$ 经过 $b$ ,且 $a$ 在平面 $\alpha$ 上, $a$ 不平行于平面 $\alpha$ . (2)假命题. 设过 $a$ 的平面与平面 $\alpha$ 交于直线 $b$ ,在平面 $\alpha$ 上与 $b$ 相交的直线与 $a$ 都不平行. (3)假命题. $a\text{、}b$ 都与平面 $\alpha$ 平行时,则 $a\text{、}b$ 可以是平行或者相交或者异面直线关系. (4)真命题. 因为 $a$ 平行于平面 $\alpha$ ,所以直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 上的任意直线都没有公共点,所以 $a$ 与 $b$ 不是平行关系就是异面关系. 2. 已知 $a//\alpha , a//b, b$ 不在 $\alpha$ 上,求证: $b//\alpha$ . 证明: 过 $a$ 作平面 $\beta$ 与平面 $\alpha$ 相交于 $l$ ,则由线面平行的性质定理,可得 $a//l$ . 因为 $a//b$ ,所以 $b//l$ ,而 $l$ 在平面 $\alpha$ 上, $b$ 不在平面 $\alpha$ 上,故由线面平行的判定定理可得 $b//\alpha$ . 3. 设过直线 $a$ 任意作平面 $\beta ,\gamma ,\delta ,\cdots ,\alpha \cap \beta = b,\alpha \cap \gamma = c,\alpha \cap \delta = d,\cdots$ ,由线面平行的性质定理,可得 $a//b, a//c, a//d,\cdots$ . 由公理 4,可得 $a//b//c// \; d//\cdots$ . ### 练习 $\mathbf{{10}.3\left( 3\right) }$ 1. 侧面都是矩形, 说明每条侧棱都垂直于上下两个面上的两条邻边, 即一条直线垂直于平面上的两条相交直线. 所以六条侧棱一定都垂直于螺母的上下两个面. 2. 5 或 $\sqrt{65}$ . 3. 因为 ${PA} \bot \alpha , l \subset \alpha$ ,所以 ${PA} \bot l$ . 同理 ${PB} \bot l$ . 又 ${PA} \cap {PB} = P$ ,所以 $l \bot$ 平面 ${PAB}$ . ### 练习 $\mathbf{{10}.3\left( 4\right) }$ 1. ${60}^{ \circ }$ . 2. (1) $\arctan \frac{\sqrt{2}}{2}$ . (2) $\arctan \frac{2\sqrt{5}}{5}$ . 3. $\angle {AOC} = {60}^{ \circ } > {45}^{ \circ }$ . ### 练习 $\mathbf{{10}.3\left( 5\right) }$ 1. (1)外. 2. 因为 ${PO} \bot$ 平面 ${ABC}$ ,所以 ${AO}$ 是 ${PA}$ 在平面 ${ABC}$ 上的投影. 又 ${AO} \bot {BC}$ , 由三垂线定理,知 ${PA} \bot {BC}$ . 3.(1)因为 ${PA} \bot$ 平面 ${ABCD}$ ,所以 ${AB}$ 是 ${PB}$ 在平面 ${ABCD}$ 上的投影. 又 ${AB}\bot {BC}$ ,由三垂线定理,知 ${PB}\bot {BC}$ ,所以 $\angle {PBC} = {90}^{ \circ }$ . (2)因为 ${PA} \bot$ 平面 ${ABCD}$ ,所以 ${AC}$ 是 ${PC}$ 在平面 ${ABCD}$ 上的投影. 又 ${PC} \bot \; {BD}$ ,由三垂线定理,知 ${AC} \bot {BD}$ . 而 ${ABCD}$ 是矩形,所以四边形 ${ABCD}$ 是正方形. ### 习题 10.3 A 组 1. 平行. 提示: 设 ${AC}$ 与 ${BD}$ 相交于 $O$ ,只需证明 $B{D}_{1}//{EO}$ . 2. 提示: ${MN}//{AC}$ . 3. 提示: ${AB}//{CD},{AB}//{EF}$ . 4. 因为 ${AB}//$ 平面 ${EFG},{AB} \subset$ 平面 ${ABC}$ ,平面 ${ABC} \cap$ 平面 ${EFG} = {EG}$ ,所以 ${AB}//{EG}$ . 又 $E$ 为 ${BC}$ 的中点,所以 $G$ 为 ${AC}$ 的中点. 5. 略. 6. 提示: ${AB} \bot$ 平面 ${PCD}$ . 7. 斜线段 ${AB}$ 与平面 $\alpha$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{1}{8}$ 或 $2\arccos \frac{3}{4}$ ; 斜线段 ${AC}$ 与平面 $\alpha$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{3}{4}$ . 8. $2\sqrt{2}a$ . 9. 略. 10. 因为 $B{C}_{1}$ 是 $B{D}_{1}$ 在平面 ${BC}{C}_{1}{B}_{1}$ 上的射影,又 $B{C}_{1} \bot {B}_{1}C$ ,由三垂线定理, 知 ${B}_{1}C \bot B{D}_{1}$ . 同理 ${AC} \bot B{D}_{1}$ . 因为 ${B}_{1}C \cap {AC} = C$ ,所以 $B{D}_{1} \bot$ 平面 $A{B}_{1}C$ . ### B 组 1. 平面 ${ABC}$ ,平面 ${ABD}$ . 提示: ${EF}//{AB}$ . 2. 因为 ${BD}$ 为圆 $O$ 的直径,所以 ${CD}\bot {BC}$ . 又因为 ${AC}\bot {CD}$ , ${AC} \cap {BC} = C$ ,所以 ${CD} \bot$ 平面 ${ABC}$ . 因为 ${EF}//{CD}$ ,所以 ${EF} \bot$ 平面 ${ABC}$ . 3.(1)提示: ${C}_{1}F//{DG}$ . 4. 已知 $\angle {AOB},{CO}$ 为平面 ${AOB}$ 的一条斜线, $\angle {COA} = \angle {COB}$ ,过 $C$ 作 ${CH} \bot$ 平面 ${AOB}$ . 求证: ${OH}$ 是 $\angle {AOB}$ 的角平分线. 提示: 过 $H$ 作 ${HD}\bot {OA}$ 于 $D$ ,过 $H$ 作 ${HE}\bot {OB}$ 于 $E$ ,连接 ${CD}\text{、}{CE}$ . 反复利用直角三角形全等证明结论成立. 5. 提示: 方法一利用 ${AN} = {NC} = \frac{1}{2}{BD}$ ; 方法二取 ${AB}$ 的中点 $P$ ,证明 ${AC} \bot$ 平面 ${MNP}$ . #### 10.4 平面与平面的位置关系 ### 练习 $\mathbf{{10.4}}\left( 1\right)$ 1. (1) 假命题. (2)真命题. (3)真命题. (4)真命题. (5) 真命题. 2. (1) $\sqrt{2}a$ . (2) $a$ . (3) $a$ . (4) $a$ . 3. 已知 $\alpha //\beta , A \in \alpha , B \in \alpha ,{A}_{1} \in \beta ,{B}_{1} \in \beta , A{A}_{1}//B{B}_{1}$ . 求证: $A{A}_{1} = B{B}_{1}$ . 证明: 因为 $A{A}_{1}//B{B}_{1}$ ,所以由 $A{A}_{1}$ 和 $B{B}_{1}$ 可确定平面 $\gamma$ . 由两个平面平行的性质定理,知 ${AB}//{A}_{1}{B}_{1}$ ,所以 ${AB}{B}_{1}{A}_{1}$ 为平行四边形,从而 $A{A}_{1} = B{B}_{1}$ . ### 练习 $\mathbf{{10.4}}\left( 2\right)$ 1.(1)不正确. (2)正确. (3)不正确. (4)不正确. 2. 平面 ${ABC} \bot$ 平面 ${BCD}$ ,平面 ${ABD} \bot$ 平面 ${BCD}$ ,平面 ${ACD} \bot$ 平面 ${ABC}$ . 3. 已知 $\alpha \bot \beta , P \in \alpha , P \in a, a \bot \beta$ . 求证: $a \subset \alpha$ . 证明: 设 $\alpha \cap \beta = c$ ,过点 $P$ 在平面 $\alpha$ 上作直线 $b \bot c$ . 根据平面与平面垂直的性质定理,可知 $b \bot \beta$ . 又 $a \bot \beta$ ,所以 $a//b$ . 而 $a \cap b = P$ ,所以 $a$ 与 $b$ 重合,即 $a \subset \alpha$ . ### 习题 10.4 A 组 1.(1)假命题,理由略. (4)真命题,理由略. 2. 提示: 因为 $E{E}_{1}$ 与 $A{A}_{1}$ 平行且相等, $F{F}_{1}$ 与 $A{A}_{1}$ 平行且相等,所以 $E{E}_{1}$ 与 $F{F}_{1}$ 平行且相等,故四边形 $E{E}_{1}{F}_{1}F$ 为平行四边形,得证. 3. 因为 $A{A}_{1}$ 与 $B{B}_{1}$ 平行且相等,所以 $A{A}_{1}{B}_{1}B$ 为平行四边形,故平面 ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ 外的直线 ${AB}$ 平行于此平面上的直线 ${A}_{1}{B}_{1}$ ,所以 ${AB}//$ 平面 ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ . 同理 ${AC}//$ 平面 ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ . 又 ${AB} \cap {AC} = A$ ,得证. 4. 提示: 过 $b$ 作平面 $\gamma$ ,使 $\alpha \cap \gamma = c$ . 因为 $\alpha //\beta , b \subset \beta$ ,所以 $b//c$ . 因为 $a$ 与 $b$ 异面,所以 $a$ 与 $c$ 相交. 因为 $l \bot b$ , $b//c$ ,所以 $l \bot c$ . 又 $l \bot a$ , $a$ 与 $c$ 相交,所以 $l \bot \alpha$ . 因为 $\alpha //\beta$ ,所以 $l \bot \beta$ . 5. 提示: 以直线 $a\text{、}b$ 是否共面分类讨论. 当直线 $a$ 与 $b$ 共面时,由平面与平面平行的性质定理可知 ${AD}//{BE}//{CF}$ ,易证结论成立; 当直线 $a$ 与 $b$ 不共面时,过点 $A$ 作直线 $b$ 的平行线,分别与平面 $\beta \text{、}\gamma$ 交于 ${B}_{1}\text{、}{C}_{1}$ 点,易证 $\frac{AB}{BC} = \frac{A{B}_{1}}{{B}_{1}{C}_{1}}$ ,且 $\frac{A{B}_{1}}{{B}_{1}{C}_{1}} = \frac{DE}{EF}$ , 由此得证. 6. ${90}^{ \circ }$ 和 ${45}^{ \circ }$ . 平面 ${AB}{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 与平面 ${AD}{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ 、平面 ${BC}{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ 所成的二面角大小均为 ${90}^{ \circ }$ ; 平面 ${AB}{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 与平面 ${ABCD}$ 、平面 ${A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 、平面 ${AB}{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ 、平面 ${DC}{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 所成的二面角大小均为 ${45}^{ \circ }$ . 7. ${20}\mathrm{\;{cm}}$ . 8. ${60}^{ \circ }$ . 取 ${BC}$ 的中点 $O$ ,连接 ${DO}\text{、}{AO}$ ,则 $\angle {AOD}$ 为所求. 9.(1)假命题,理由略. (2)真命题,理由略. 10. 提示: 利用 ${CD} \bot$ 平面 ${ABC}$ ,即可证明. 11. 在 $l$ 上取一点 $P$ ,过 $P$ 作 ${l}^{\prime } \bot \gamma$ ,则由 $P \in l \subset \alpha$ 及 $\alpha \bot \gamma$ ,得 ${l}^{\prime } \subset \alpha$ . 同理 ${l}^{\prime } \subset \; \beta$ . 所以 ${l}^{\prime }$ 是 $\alpha \text{、}\beta$ 的交线,即 $l\text{、}{l}^{\prime }$ 重合,从而 $l \bot \gamma$ . ### B 组 1. 提示: ${l}_{1}//{l}_{2}$ . 2. 可以判定. 因为 ${VA} = {VB},{AD} = {BD}$ ,所以 ${AB} \bot {VD}$ . 又因为 ${VO} \bot$ 平面 ${ABC}$ ,根据三垂线定理,得 ${AB} \bot {CD}$ . 因为 ${AD} = {BD}$ ,所以 ${AC} = {BC}$ . 3. 略. 4. 略. 5. 略. #### *10.5 异面直线间的距离 ### 练习 10.5 1. (1) 1. (2) 1. 2. $m\text{、}n$ 为异面直线,过 $m\text{、}n$ 分别作两个平行平面 $\alpha \text{、}\beta$ . 现假设 ${PQ}$ 为异面直线的公垂线段,且 $P \in m, Q \in n$ ,则 ${PQ} \bot m,{PQ} \bot n$ ,所以 ${PQ} \bot \alpha ,{PQ} \bot \beta$ ,即 ${PQ}$ 也是 $\alpha$ 与 $\beta$ 的距离. 3. $\sqrt{101}\mathrm{\;m}$ 或者 $\sqrt{301}\mathrm{\;m}$ . 提示: 分两点在公垂线的同侧和异侧进行讨论研究. 习题 10.5 A 组 1. B. 2. (1) $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ . (2) $a$ . 3. $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ . 提示: ${MN}$ 为所求,其中 $M\text{、}N$ 分别为 ${DC}\text{、}{AB}$ 的中点. 4. $2\sqrt{17}\mathrm{\;{cm}}$ . 5. D. 6. 已知 $a$ 与 $b$ 是异面直线, ${AB}$ 是异面直线的公垂线, $a \bot \alpha , b \bot \beta ,\alpha \cap \beta = c$ . 求证: $c//{AB}$ . 证明: 过点 $A$ 作 ${b}^{\prime } \bot \beta$ . 因为 $b \bot \beta$ ,所以 $b//{b}^{\prime }$ . 因为 ${AB}$ 是 $a$ 与 $b$ 的公垂线,故 ${AB} \bot a,{AB} \bot b,{AB} \bot {b}^{\prime }$ ,所以 ${AB}$ 垂直于 $a\text{、}{b}^{\prime }$ 所确定的平面. 又 $a \bot \alpha , c \subset \alpha$ , 则 $a \bot c$ . 同理 ${b}^{\prime } \bot c$ . 所以 $c$ 垂直于 $a\text{、}{b}^{\prime }$ 所确定的平面,故 $c//{AB}$ . B 组 1. ${CD} = {26}\mathrm{\;{cm}},{AB}$ 和 ${CD}$ 之间的距离为 $\frac{{24}\sqrt{17}}{17}\mathrm{\;{cm}}$ . 2. $\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}$ . 提示: $B{B}_{1}//$ 平面 ${AC}{C}_{1}$ . 3. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ . 提示: 转化成两个平行平面之间的距离进行求解. ### 复习题 A 组 1. $\arccos \frac{1}{5}$ . 2.(1)正确,理由略. (2)正确,理由略. (3) 正确, 理由略. 正确. $M \in$ 平面 ${PBC}$ . (5) 不正确. $M \in$ 平面 ${PBC}$ . 3.(1)提示: ${EF}$ 与 $\frac{1}{2}{DB}$ 平行且相等. (2) $\frac{9}{8}{a}^{2}$ . 提示:在梯形 ${EFBD}$ 上, 过 $F$ 作下底边 ${BD}$ 的垂线,垂足为 $M.{FM}$ 为 ${EF}$ 与 ${BD}$ 间的距离. 4.(1)假命题,理由略. (2)真命题,理由略. (4)假命题,理由略. 5. 平行或相交. 图略. 6. 提示: 因为 $A{A}^{\prime }$ 与 $B{B}^{\prime }$ 相交于 $O$ ,且 ${AO} = {A}^{\prime }O,{BO} = {B}^{\prime }O$ ,所以 ${AB}//{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ , 从而 ${AB}//$ 平面 ${A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ . 同理 ${BC}//$ 平面 ${A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ . 由 ${AB} \cap {BC} = B$ ,得证. 7. (1) 真命题, 理由略. (2)假命题,理由略. (3)真命题,理由略. (4)假命题,理由略. 8. $\frac{\sqrt{6}}{6}$ . 9. $\sqrt{7}a,\sqrt{7}a,\frac{\sqrt{19}}{2}a$ . B 组 1.(1)假命题,理由略. (2)假命题,理由略. (3)假命题, 理由略. 2. 因为 $\alpha \bot \beta$ ,可在平面 $\alpha$ 上作与两平面交线垂直的直线 $c$ ,使 $c \bot \beta$ . 又 $a \bot \beta$ , 所以 $a//c$ . 而 $c \subset \alpha , a$ 不在平面 $\alpha$ 上,根据线面平行的判定定理,可知 $a//\alpha$ . 3. 略. 4. 提示: 取 ${AB}$ 的中点 $G$ ,连接 ${FG}\text{、}{CG}$ . (1) 只需证明 ${FD}//{CG}$ . $\bigtriangleup {ABE}$ 为等腰三角形,得到 ${AF} \bot {BE}$ . 利用 ${CG} \bot$ 平面 ${ABE}$ ,得 ${CG} \bot {AF}$ ,进而 ${FD} \bot {AF}$ . 5. 略. 6. 提示: (1) $\angle {BDC}$ 为平面 ${ABD}$ 与平面 ${ACD}$ 所成二面角的平面角. ${CD} = a$ ,则 ${AC} = {AB} = {BC} = \sqrt{2}a$ . 7. 略. 8. 因为 $a \bot {OA}, a \bot {PA},{OA} \cap {PA} = A$ ,所以 $a \bot$ 平面 ${POA}$ ,故 ${PO} \bot a$ . 又 ${PO} \bot {OA}, a$ 与 ${OA}$ 相交,所以 ${PO} \bot \alpha$ . 9. 提示: 因为 ${DA} \bot \alpha$ ,又 ${CA} \bot {AB}$ ,所以由三垂线定理,得 ${CA} \bot {DB}$ . 又 ${CA} \bot$ 平面 ${DAB}$ ,且 ${AE} \bot {DB}$ ,由三垂线定理,得 ${CE} \bot {DB}$ . ### 拓展与思考 1. 是的. 是位于两平面中间, 且到两平面距离相等的一个平面. 2. 2. #### 四、相关阅读材料 ### 阅读材料 ### 几何学寻踪几何学是数学中最古老的分支之一, 也是数学这个领域里最基础的分支之一. 几何学伴随人类文明而诞生,其绚丽的画卷在人类历史的长河中无处不见. 中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发源地. 公元前 300 年前后, 古希腊数学家欧几里得 (Euclid, 约公元前 330一前 275) 在前人工作的基础上,写成了《几何原本》[1] 这一数学巨著. 此书共十三卷,其中五卷为平面几何,三卷为立体几何,五卷为数和比例. 在这部著作里,全部几何知识都是从最初的几个假设出发, 运用逻辑推理的方法展开和叙述的. 欧几里得首先构造了一个由一些定义、公设和公理构成的系统, 由此演绎推导出一系列定理和其他各种结论, 几乎囊括了当时的全部几何学成就. 《几何原本》的伟大意义在于, 它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范, 这本书对数学发展的影响超过任何其他的书. 它被誉为 “数学的圣经”. 在几何学的发展历程里, 欧几里得第五公设占有极其重要的地位. 这个第五公设又被称为平行公设, 它有许多等价命题, 其中最简单的表述是, “过直线外一点, 有且只有一条直线与已知直线平行”. 自《几何原本》问世起,有许多数学家——也许包括欧几里得本人都对《几何原本》中的第五公设不满意,因为它不如其他公理、公设那样简明. 于是在其后二千多年的岁月里, 有很多的数学家孜孜不倦地试图证明第五公设, 结果他们都没有获得成功. 当时间的舞步来到 19 世纪 20 年代, 终于有数学家另辟蹊径,把欧几里得的第五公设替换成“过已知直线外一点至少可以作两条直线与已知直线平行”, 建立了现在称为罗巴切夫斯基几何或双曲几何的非欧几何. 有三位数学家在其中做出了决定性的贡献, 他们是俄国数学家罗巴切夫斯基 (H. И. Лобачевский, 1792—1856)、匈牙利数学家波尔约 (J. Bolyai, 1802—1860) 和德国数学家高斯 (C. F. Gauss, 1777—1855). 还有另一种非欧几何, 把欧几里得的第五公设替换成 “过已知直线外一点不能作直线与已知直线平行”,球面几何是其最自然的原型. 这种几何现在称为黎曼的非欧几何或者椭圆几何, 它是德国数学家黎曼 (G. F. B. Riemann, 1826-1866)从空间度量的角度进行研究的. 黎曼的理论把通常的欧几里得几何和两种非欧几何统一在黎曼几何的大旗下,只不过是空间度量曲率的差别而已. 当然, 这个理论的复杂与深入不是中学数学所能够涉猎的. 非欧几何的诞生在数学的历史上具有里程碑意义, 它彻底解决了欧几里得第五公设问题, 引起了数学家们对几何基础的研究, 扩展了空间概念, 解放了人们的思想, 对数学乃至其他学科的发展具有深远的影响. 李忠的小册子《并不神秘的非欧几何》[2] 对非欧几何的前世今生有一个深入浅出的介绍. 几何学的故事还可以有其他的主线: 比如从帕普斯 (Pappus, 约公元前 400 一前 300)到射影几何学,笛卡尔(R. Descartes,1596-1650)与解析几何,高斯、黎曼与微分几何学,庞加莱(J. H. Poincaré, 1854-1912)与拓扑学,等等. 如果你喜欢现代数学严密的公理化的体系,或许你可以来阅读《希尔伯特几何基础》[3]一书,由此, 数学基础将变得更加牢固. ### 参考文献 [1] 欧几里得. 几何原本[M]. 燕晓东,译. 南京:江苏人民出版社,2011. [2] 李忠. 并不神秘的非欧几何[M]. 北京:高等教育出版社,2013. [3] 希尔伯特. 希尔伯特几何基础[M]. 江泽涵,朱鼎勋,译. 北京:北京大学出版社, 2009.